משפט פיתגורסגאומטריה 571 · שיעור 20
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 20: משפט פיתגורס
פרק 6 · פיתגורס ודמיון
1משפט פיתגורס והמשפט ההפוך
2פיתגורס במעוין ובמשולש שווה שוקיים
37 תרגילים, כולל משוואה ריבועית וזווית 30
משפט + משפט הפוך
משפט פיתגורס
∢C = 90. הניצבים: a , b
היתר c – הצלע שמול הזווית הישרה, הארוכה ביותר
📐 משפט פיתגורס: a² + b² = c²
📐 משפט הפוך: אם במשולש a² + b² = c² ← הזווית שמול c ישרה
💡 מוצאים יתר: מחברים ריבועים. מוצאים ניצב: מחסרים ריבועים
תרגיל 1 · מציאת היתר · קל
במשולש ABC: ∢C = 90 , BC = 8 , AC = 6
מצאו את AB
מצאו את AB
AC² + BC² = AB²
משפט פיתגורס
6² + 8² = AB²
מציבים
36 + 64 = AB² ⟹ AB² = 100
מחשבים
AB = √100 = 10
שורש (אורך חיובי)
✅ פתרון סופי: AB = 10
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
תרגיל 2 · מציאת ניצב · קל
במשולש ABC: ∢C = 90 , AB = 13 , AC = 5
מצאו את BC
מצאו את BC
AC² + BC² = AB²
משפט פיתגורס
5² + BC² = 13²
מציבים
25 + BC² = 169
מחשבים
BC² = 169 − 25 = 144
מעבירים אגפים
BC = √144 = 12
שורש (אורך חיובי)
✅ פתרון סופי: BC = 12
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
תרגיל 3 · פיתגורס במעוין · בינוני
ABCD מעוין. אורכי האלכסונים: AC = 16 , BD = 12
מצאו את צלע המעוין ואת היקפו
מצאו את צלע המעוין ואת היקפו
AO = 16 : 2 = 8 , BO = 12 : 2 = 6
במעוין (מקבילית) האלכסונים חוצים זה את זה
∢AOB = 90
במעוין האלכסונים מאונכים
AO² + BO² = AB²
משפט פיתגורס ב־△AOB
8² + 6² = 64 + 36 = 100 = AB²
מציבים ומחשבים
AB = √100 = 10
שורש (אורך חיובי)
היקף: 4 · 10 = 40
במעוין כל הצלעות שוות
✅ פתרון סופי: צלע המעוין 10 , ההיקף 40
📐 משפט
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט
במעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 הגדרה
מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות (הוא גם מקבילית)
תרגיל 4 · גובה ושטח בשווה שוקיים · בינוני
במשולש ABC: AB = AC = 10 , BC = 12
מצאו את הגובה AD לבסיס ואת שטח המשולש
מצאו את הגובה AD לבסיס ואת שטח המשולש
מורידים גובה AD ⊥ BC
קו עזר
BD = DC = 12 : 2 = 6
בשווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון
AD² + BD² = AB²
משפט פיתגורס ב־△ABD
AD² + 36 = 100 ⟹ AD² = 64
מציבים ומעבירים אגפים
AD = √64 = 8
שורש (אורך חיובי)
S = BC · AD : 2 = 12 · 8 : 2 = 48
שטח משולש
✅ פתרון סופי: AD = 8 , שטח המשולש 48
📐 הגדרה
גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו (או להמשכה)
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 נוסחה
שטח משולש
S = (צלע · הגובה אליה) : 2
תרגיל 5 · משוואה ריבועית · מורכב
במשולש ישר זווית אחד הניצבים ארוך ב־7 מהשני, והיתר הוא 13
מצאו את אורכי הניצבים
מצאו את אורכי הניצבים
AC = x , BC = x + 7
מסמנים
x² + (x + 7)² = 13²
משפט פיתגורס
x² + x² + 14x + 49 = 169
פותחים סוגריים: נוסחת הכפל המקוצר
2x² + 14x − 120 = 0
כינוס ומעבירים אגפים
x² + 7x − 60 = 0
מחלקים ב־2
(x + 12)(x − 5) = 0 ⟹ x = 5 או x = −12
פירוק לגורמים
x = 5 (x = −12 נפסל: אורך חיובי)
אורך תמיד חיובי
AC = 5 , BC = 12 ✔ (25 + 144 = 169)
מציבים x = 5
✅ פתרון סופי: הניצבים: 5 ו־12
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 נוסחה
נוסחת הכפל המקוצר
(a + b)² = a² + 2ab + b²
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
משוואה ריבועית: מעבירים הכול לאגף אחד ומפרקים לגורמים (או נוסחת השורשים)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
תרגיל 6 · משפט הפוך · קל
במשולש ABC: AC = 7 , BC = 24 , AB = 25
האם המשולש ישר זווית? אם כן – איזו זווית ישרה?
האם המשולש ישר זווית? אם כן – איזו זווית ישרה?
AC² + BC² = 49 + 576 = 625
מחשבים
AB² = 25² = 625
מחשבים
AC² + BC² = AB²
שני הצדדים שווים
∢C = 90
משפט פיתגורס ההפוך: הזווית שמול AB ישרה
✅ פתרון סופי: כן, ∢C = 90
📐 משפט הפוך
אם a² + b² = c² ← הזווית שמול c ישרה
תרגיל 7 · פיתגורס + זווית 30 · מורכב
במשולש ABC: ∢C = 90 , ∢A = 30 , BC = 5
מצאו את AB ואת AC
מצאו את AB ואת AC
AB = 2 · BC = 2 · 5 = 10
ניצב מול זווית של 30 שווה לחצי היתר
AC² + BC² = AB²
משפט פיתגורס
AC² + 25 = 100
מציבים
AC² = 75
מעבירים אגפים
AC = √75 = √(25 · 3) = 5√3
שורש ופירוק שורש
✅ פתרון סופי: AB = 10 , AC = 5√3 ≈ 8.66
📐 משפט
במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 כלל
פירוק שורש: מוציאים מהשורש ריבוע שלם
√75 = √(25 · 3) = 5√3
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 משפט הפוך
אם a² + b² = c² ← הזווית שמול c ישרה
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
💡 לפני פיתגורס: מסמנים איפה הזווית הישרה. היתר תמיד מולה, ולבד באגף.
בשיעור הבא: דמיון משולשים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא